\chapter{数学分析}
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\begin{tcolorbox}[arc=0mm,colback=lightblue,colframe=darkblue,title=Mathematical Analysis]
\kai{~~~~数值计算么么哒}

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\section{背景知识}

\subsection{误差分析}

1. 误差来源：舍入误差；截断误差；模型误差；系统误差。

2. 绝对误差：$x$为准确值，$x^*$是近似值，则绝对误差$e(x^*)=x-x^*$。

3. 绝对误差限：$|e(x^*)|$的一个预估上界$\varepsilon(x^*)$称为绝对误差限。

4. 相对误差：绝对误差与准确值之比
\begin{equation*}
    e_r(x^*)=\frac{x-x^*}{x}
\end{equation*}

5. 相对误差限：$|e_r(x^*)|$的一个预估上界$\varepsilon_r(x^*)$称为相对误差限。

6. 有效数字：$x^*$左边第一个非零数字到末位数字间的位数。

\subsection{计算方法设计}

1. 误差传播：微小的误差在迭代过程中被不断放大的过程。

~~~~（1）加减法：$\varepsilon(x^*\pm y^*)=\varepsilon(x^*)+\varepsilon(y^*)$；

~~~~（2）乘法：$\varepsilon(x^*y^*)=|x^*|\varepsilon(y^*)+|y^*|\varepsilon(x^*)$；

~~~~（3）函数：$e\left(f(x^*)\right)\simeq f'(x)e(x^*)$，其中$f'(x)$称为放大因子。

2. 稳定性算法：计算过程中误差限逐步减小的算法；“病态”的不稳定算法：误差限急速增大的算法。

3. 算法设计基本原则：

~~~~（1）避免相近的数相减：会丢失有效数字；

~~~~（2）避免量级差距大的数相加减：大数吃小数；

~~~~（3）避免用绝对值小的数作除数：易产生浮点溢出；

~~~~（4）控制误差传播，确保算法稳定性。